Am 22. August 1747 in Wien geboren trat Stütz mit 17 Jahren in das Stift der regulierten Chorherren des heiligen Augustin zu St. Dorothea ein. 1771 wurde er zum Priester geweiht. Nach Aufhebung seines Klosters übernimmt er das Lehramt für Naturgeschichte, Geographie und Mechanik an der k.k Realakademie. 1788 wird er an die Naturaliensammlung berufen und zum Director - Adjunct bestellt. 1797 wird er k.k. Rat, 2. Director der Sammlung (neben Ludwig Balthasar von Baillou). Nach dem Tod von Ludwig Balthasar von Baillou ist Stütz alleiniger Direktor des Mineralien-Cabinets.